Représentation linéaire des groupes finis, JP Serre

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Content: Reprґesentation linґeaire des groupes finis Gabriel Peyrґe
Dґefinition 0.1. Repreґsentation lineґaire Soit V un C-espace vectoriel de dimension finie n. Une reprґesentation linґeaire d'un groupe G dans V est la donnґee d'un morphisme : G GL(V ). Ceci correspond `a la donnґee d'une action de groupe linґeaire de G sur V , en notant (g, v) G Ч V, g.v = (g)(v). On dit aussi que V est un G-module.
Exemple 0.2. Voici les exemples fondamentaux de reprґesentations linґeaires : · La reprґesentation triviale, dґefinie par s G, (s) = IdV . · La reprґesentation rґeguli`ere : on se donne un espace vectoriel de dimension |G| et on consid`ere une base que l'on indice par les ґelґements de G, i.e. B = {eh}hG. Pour s G, on dґefinit alors (s) GL(V ) par (s)(eh) = esh, ce qui correspond `a une permutation des coordonnґees. · La reprґesentation somme : pour deux reprґesentations 1 et 2 respectivement sur V et W , on dґefinit une reprґesentation 1 2 sur V W par la formule :
(v, w) V Ч W, 1 2(g)(v + w) = 1(v) + 2(w)
· La reprґesentation produit : pour deux reprґesentations 1 et 2 respectivement sur V et W , on dґefinit une reprґesentation 1 2 notґee aussi V W sur L(V, W ) (espace des applications linґeaires de V dans W ) par la formule :
f L(V, W ), V W (g)(f ) = 2(g) f 1(g-1)
· Une action sur les polyn^omes : si G est un sous-groupe fini de GLn(C), on dґefinit une action linґeaire de
G sur C[X1, . . . , Xn] en notant, pour A = (ai,j) G, (A)(P ) le polyn^ome obtenu par la substitution de
Xi par
n j=1
ai,j Xj .
On
note
symboliquement
(A)(P )(X)
=
P (A.X).
Dґefinition 0.3. Repreґsentations isomorphes Deux reprґesentations et d'un m^eme groupe G respectivement sur V et V sont dite isomorphes si il existe un isomorphisme : V V tel que s G, (s) = (s) , ce qui permet d'identifier les deux reprґesentations.
Dґefinition 0.4. Sous repreґsentations Si une reprґesentation de G sur V admet un sous espace vectoriel W V stable par tous les (s) GL(V ), elle induit une sous reprґesentation W sur W .
Dґefinition 0.5. Repreґsentations irreґductibles Une reprґesentation est dite irrґeductible si elle n'admet pas de sous reprґesentation stricte.
Proposition 0.1. Repreґsentation unitaire Toute reprґesentation est isomorphe `a une reprґesentation unitaire. Dґemonstration. On peut supposer V muni d'un produit hermitien (., .). Quitte `a remplacer ce produit (x, y) par sG ((s)x, (s)y), on peut supposer ce produit invariant par l'action de G. Donc dans une base orthonormale pour (., .), les matrices des (s) sont unitaires.
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Corollaire 0.2. Une reprґesentation sur V est rґeductible si elle peut s'ґecrire comme somme V = W W 0 de deux reprґesentations non triviales. Dґemonstration. Quitte `a faire un changement de base, on peut supposer la reprґesentation unitaire. Si la reprґesentation n'est pas irrґeductible, elle admet un sous-espace globalement stable W , et en prenant un supplґementaire orthogonal W 0, ce dernier est aussi stable, car les matrices des (s) sont unitaires. Remarque. Le corollaire prґecґedent signifie que les matrices des (s) sont diagonales par bloc dans une base bien choisie, ce qui correspond bien `a la reprґesentation somme. Proposition 0.3. Toute reprґesentation peut s'ґecrire comme somme de reprґesentations irrґeductibles. Remarque. Cette ґecriture n'est bien su^r pas unique, mais on va voir qu'elle est unique "`a isomorphisme pr`es", au sens que si W = W1 . . . Wr, le nombre de fois qu'une reprґesentation irrґeductible U est isomorphe `a un Wi est fixґe. Dґefinition 0.6. Sous-repreґsentation invariante Soit une reprґesentation sur V . On note V G le sousespace des vecteurs invariants , i.e. V G = {v V ; s G, (s)(v) := s.v = v}. C'est une sous reprґesentation de V .
Dґefinition 0.7. Opeґrateurs d'entrelacement Dans le cas de la reprґesentation produit V W sur L(V, W ) de deux reprґesentations 1 et 2 respectivement sur V et W , on note HomG(V, W ) := L(V, W )G l'espace des invariants. On nomme ses ґelґements des opґerateurs d'entrelacement ou des G-morphismes .
Remarque. Dire que f L(V, W ) est un opґerateur d'entrelacement correspond `a ce que f vґerifie s G, f 1(s) = 2(s)f , ie f fait commuter, pour tout s G, le diagramme :
V ---f- W
V (s)
W (s)
V ---f- W
Si f est bijectif, ceci correspond au fait que f soit un isomorphisme de reprґesentations, dans le cas gґenґeral, on parle de G-morphismes, ou` d'opґerateurs d'entrelacement.
Lemme 0.4. Lemme de Schur Soient 1 : G GL(V ) et 2 : G GL(W ) deux reprґesentations irrґeductibles d'un groupe G. Soit f L(V, W ) un opґerateur d'entrelacement, ie f HomG(V, W ). Alors : ­ Si 1 et 2 ne sont pas isomorphes, f = 0. ­ Sinon, on peut supposer V = W , 1 = 2, et alors f est une homothґetie. Dґemonstration. Si on suppose que f = 0, alors les hypoth`eses montrent que V0 = Ker(f ) est stable par tous les 1(s), et donc comme 1 est irrґeductible, V0 = {0}. De m^eme Im(f ) est stable par tous les 2(s), donc au final, f est un isomorphisme et 1 et 2 sont isomorphes. Dans le deuxi`eme cas, comme on travail sur des C-espaces vectoriels, f a au moins une valeur propre . En posant f = f - Id, on voit que Ker(f ) = {0}, et en appliquant la premi`ere partie de la dґemonstration, on a f = 0.
Corollaire 0.5. On a donc : dimC(HomG(V, W )) = 1.
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Dґefinition 0.8. Opeґrateur de Reynolds Soit une reprґesentation de G sur V . On dґefinit l'opґerateur RG L(V, V ) par la formule :
1 RG := |G| (s) sG
L(V, V )
On l'appelle opґerateur de Reynolds .
Thґeor`eme 0.6. Proprieґteґs de l'opeґrateur de Reynolds RG est un projecteur sur V G. En particulier : (i) V G = Im(RG) = Ker(RG - Id) (ii) dimC(V G) = tr(RG)
Dґefinition 0.9. Application moyenneґe Dans le cas de la reprґesentation produit V W sur L(V, W ) de deux reprґesentations 1 et 2 respectivement sur V et W , pour f L(V, W ), on node f := RG(f ) L(V, W ), ce qui correspond `a l'application moyennґee :
1 f :vV
2(s)(f (1(s-1)(v)))
|G|
sG
Proposition 0.7. Application aux G-morphismes Dans le cas de la reprґesentation produit V W sur L(V, W ) de deux reprґesentations 1 et 2 respectivement sur V et W , pour f L(V, W ), on a : dimC(HomG(V, W )) = tr(RG) = Avec = +1 si les deux reprґesentations sont isomorphes, et 0 sinon. De plus, pour tout f L(V, W ), f est une application G-invariante pour la reprґesentation linґeaire V W , ie c'est un G-morphisme, f HomG(V, W ).
Dґefinition 0.10. Caracte`res Soit une reprґesentation d'un groupe G sur V de dimension n. On lui associe son caract`ere dґefini par (s) = tr((s)) ou` tr dґesigne la trace.
Proposition 0.8. Proprieґteґs des caracte`res On a les propriґetґes suivantes : (i) (1) = n (ii) s G, (s-1) = (s). (iii) (s, t) G2, (tst-1) = (s) : on dit que est une fonction centrale sur G. (iv) Si se dґecompose en une somme directe de deux reprґesentations V et W , alors
:= V W = V + W .
(v) Si on note V W la reprґesentation produit sur L(V, W ) de deux reprґesentations V et W , alors V W = V W . Dґemonstration. (i) C'est ґevident car tr(IdV ) = dim(V ) = n. (ii) Vient du fait que l'on peut prendre une matrice unitaire pour (s) et de :
(s-1) = tr((s)-1) = tr((s)) = tr((s)). (iii) Vient du fait que (A, B) GLn(C), tr(BAB-1) = tr(A). (iv) Si on note BV une base de V et BW une base de W , la matrice de V W (s) s'ґecrit dans la base B := BV BW :
M (s) =
MV (s) 0
0 MW (s)
ou` MV (s) est la matrice de V (s) dans la base BV et MW (s) celle de W (s) dans BW . D'ou` V W (s) = tr(M (s)) = tr(MV (s)) + tr(MW (s)) = V (s) + W (s).
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(v) Provient du lemme suivant.
Lemme 0.9. Soit u L(W ) et v L(V ) deux applications linґeaires. On dґefinit L(L(V ), L(W )) par la formule (f ) = u f v, alors on a tr() = tr(u)tr(v).
Dґemonstration. On se donne des bases (ei)iI de V et (fj)jJ de W , ainsi que les bases duales (ei)iI et (fj)jJ . On peut construire une base (Fi,j)(i,j)IЧJ de L(V, W ) par la formule : x V, Fi,j(x) := ei , x fj W
La base duale est ainsi dґefinie par la propriґetґe :
f L(V, W ), Fi,j, f = fj, f (ei)
On a donc : tr() := =
(i,j)IЧJ Fi,j , (Fi,j ) = (i,j)IЧJ fj, u Fi,j (v(ei)) (i,j)IЧJ fj, u( ei , v(ei) fj ) = (i,j)IЧJ fj, u(fj ) ei , v(ei) = tr(u)tr(v)
Dґefinition 0.11. Produits hermitiens Si et sont deux fonctions de G dans C, on pose :
1
(, ) :=
(t)(t)
|G|
tG
(., .) est un produit hermitien sur l'espace vectoriel E des fonctions de G dans C.
Thґeor`eme 0.10. Relations d'orthogonaliteґ Une famille de caract`eres de reprґesentations irrґeductibles non deux `a deux isomorphes forme une famille orthonormale de l'espace des fonctions de G dans C, ce qui signifie : ­ Si est le caract`ere d'une reprґesentation irrґeductible, on a (, ) = 1. ­ Si et sont deux caract`eres de reprґesentations irrґeductibles non isomorphes, on a (, ) = 0.
Dґemonstration. Soient 1 et 2 deux reprґesentations de la famille considґerґee, respectivement sur des espaces vectoriels V et W . Avec la proposition 0.7, on a donc : tr(RG) = , ou` = +1 si les deux reprґesentations sont isomorphes (donc en fait ґegales), et 0 sinon. Or :
1
1
tr(RG) = G
tr(V W )(s) = G
V W (s)
sG
sG
Or on a vu `a que V W (s) = V (s)W (s), donc on a bien : 1 tr(RG) = G V (s)W (s) := (W , V ) = sG
Proposition 0.11. Uniciteґ de la deґcomposition On suppose qu'une reprґesentation de G sur V est dґecomposґee en somme de reprґesentations irrґeductibles V = W1 . . . Wr. Alors si W est une reprґesentation irrґeductible de caract`ere W , le nombre de fois que W intervient dans la dґecomposition (ie le nombre de Wi isomorphes `a W ) est indґependant de la dґecomposition et vaut (, W ). Au final, si on choisit une famille (U1, . . . , Ur) de reprґesentations deux `a deux non isomorphes, on ґecrit De Mani`ere unique V = n1W1 . . .nrWr avec ni = (, Wi ). 4
Corollaire 0.12. Deux reprґesentations sont isomorphes si et seulement si elles ont m^eme caract`eres. De plus, une reprґesentation sur V de caract`ere V est irrґeductible si et seulement si (V , V ) = n2i = 1.
Remarque. En fait, on peut montrer que famille des Wi forme une base orthonormale de l'espace vectoriel des fonctions centrale. Le nombre de Wi est donc ґegal aux nombre de classes de conjugaisons dans G.
Rґefґerence : [?, p.1][?, p.267] Utilisation : (***,14) (**,2) (*,0) Mots clefs : action de groupe, groupes finis, caract`eres, matrices semblables, sous-espaces stables, dimension, produit hermitien, espace hermitien, sous groupes finis de SO(3).
100 Mґethodes combinatoires, probl`emes de dґenombrement. Sґeries gґenґeratrices.
***
101 Groupe opґerant sur un ensemble. Exemples et applications.
***
103 Sous-groupes distinguґes, groupes quotients. Exemples et applications.
***
104 Groupes finis. Exemples et applications.
***
105 Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
***
106 Groupe linґeaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
***
107 Sous-groupes finis de O(2, R), de O(3, R). Applications.
***
118 Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
***
119 Matrices ґequivalentes. Matrices semblables. Applications.
***
122 Rґeduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
***
123 Sous-espaces stables d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
***
126 Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel hermitien de dimension finie.
***
136 Formes linґeaires sur un espace vectoriel de dimension finie. Espace dual, orthogonalitґe. Applications.
***
138 Endomorphismes diagonalisables.
***
105 Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
**
144 Utilisation des groupes en gґeomґetrie.
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JP Serre

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Author: JP Serre
Published: Sun Dec 4 14:22:02 2005
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